Fonctions affines

I) Définition

1) Définition :

Les fonctions 𝒇, définies sur ℝ, qui peuvent s’écrire sous la forme :
𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 + 𝒃 avec a et b réels sont appelées fonctions affines.
Cas particuliers :
Lorsque 𝑏 = 0 alors 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 On dit que 𝑓 est une fonction linéaire
Lorsque 𝑎 = 0 alors 𝑓(𝑥) = 𝑏 On dit que 𝑓 est une fonction constante

2) Exemples :

La fonction 𝑥 ⟼ 3𝑥 + 2 est une fonction affine
La fonction 𝑥 ⟼ −5𝑥 + 1 est une fonction affine
La fonction 𝑥 ⟼ 9𝑥 − 3 est une fonction affine
La fonction 𝑥 ⟼ −2𝑥 est une fonction affine, plus précisément elle est linéaire
La fonction 𝑥 ⟼ 4 est une fonction affine, plus précisément elle est constante.

II) Sens de variation d’une fonction affine

1) Propriété

● si 𝒂 ≥ 𝟎 La fonction 𝒇 est croissante sur ℝ.
● si 𝒂 ≤ 𝟎 La fonction 𝒇 est décroissante sur ℝ

III) Courbe représentative d’une fonction affine

1) Propriété

La représentation graphique d’une fonction affine 𝒙 ⟼ 𝒂𝒙 + 𝒃 est la droite
de coefficient directeur a qui passe par le point de coordonnées (0 ; b)

2) Représentations graphiques

a) Le coefficient a est positif

b) Le coefficient a est négatif

c) Le coefficient a est nul

Exercices corrigés

Exercice 1

Soit la fonction g affine telle que g(x) = 5x − 1.
a. Calcule l’image de − 7 par la fonction g.
b. Calcule l’antécédent de 14 par la fonction g.

Solution

Exercice 2

f est une fonction affine de la forme :
f : x → ax + b
Déterminer a et b sachant que : f(2) = 5 et f(7) = 15

Solution

Exercice 3

g est une fonction affine de la forme :
          g : x → ax + b
Déterminer a et b sachant que : g(2) = 11 et g(-1) = 2

Solution

Exercice 4

Représenter dans ce repère ces fonctions affines :
– en bleu, la fonction f : x → 2x + 1 
– en rouge, la fonction g : x → –3x + 2 
– en vert, la fonction h : x → (3/2) x + 1 
– en gris, la fonction k : x → (– 1/4) x + 12

Solution

Exercice 5

On a représenté dans un repère la fonction affine.

a. Compléter en lisant sur le graphique :
f (2) = ……
f (……) = 1
f (-2) = ……
f (……) = 3/2
f (-3) = ……
f (……) = – 5/4
b. Déterminer f (0) et f (1).
c. En déduire l’expression de la fonction f :
f : x → ……………………

Solution

Exercice 6

On a représenté dans un repère les fonctions affines f, g et h :

a. Compléter en lisant sur le graphique :
f (4) = ……
g(–1) = ……
h(8) = ……
f (……) = –3
g(……) = –1
h(……) = 4
b. Définir graphiquement les fonctions f, g et h.
f : x → ………
g : x → ………
h : x → ………

Solution