Fonction impaire – cours et exercices corrigés.
Fonction impaire
1) Définition
Soit 𝒇 une fonction et son ensemble de définition I symétrique par rapport à 0 est impaire si et seulement si pour tout 𝒙 ∈ I , 𝒇(−𝒙) = −𝒇(𝒙)
2) Méthode et exemple :
Pour montrer qu’une fonction est impaire sur un intervalle I :
● On vérifie que l’intervalle I est symétrique par rapport à 0.
● On calcule 𝑓(−𝑥) , en remplaçant 𝑥 par (−𝑥) dans l’expression de 𝑓(𝑥) et on montre qu’elle est égale à −𝑓(𝑥).
Exemple :
étudier la parité de la fonction 
:
Comme 1+𝑥² ≥ 1 sur ℝ , 1+𝑥² ≠ 0, la fonction est donc définie sur ℝ.
( ℝ est bien symétrique par rapport à 0)
Pour tout 𝑥 ∈ ℝ , 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥), 𝑓 est donc impaire.
3) Interprétation géométrique
La représentation graphique d’une fonction impaire est symétrique par
rapport à l’origine du repère O.
Exercices corrigés
Exercice 1
Les fonctions suivantes sont impaires. Compléter leur représentation graphique.
Solution
Exercice 2
Les fonctions suivantes sont impaires. Compléter leur représentation graphique.
Solution
Exercice 3
Etudier la parité de la fonction définie sur par f : x ↦ 
Solution
On va donc montrer que est impaire.
Pour tout réel :
Pour tout réel , donc est impaire.
Remarques :
– Etudier la parité d’une fonction revient à déterminer si elle est paire, impaire ou ni paire, ni impaire.
– La fonction nulle est la seule fonction qui soit à la fois paire et impaire.
– Pour montrer qu’une fonction définie sur Df n’est pas impaire, il suffit de :
Soit de montrer que son ensemble de définition Df n’est pas centré en zéro ;
Soit de montrer qu’il existe un réel a de Df tel que f(-a) =-f(a).
Autrement dit, une fonction estimpaire si elle est symétrique par rapport à l’origine. Visuellement, cela signifie que si vous tracez le graphe de la fonction dans un repère cartésien, il sera symétrique par rapport à l’origine. En d’autres termes, si vous prenez n’importe quel point (x, y) sur le graphe, le point correspondant (-x, -y) sera également sur le graphe.