Notion de fonction

a. Définition

Soit D un ensemble de nombre (un intervalle ou une réunion d’intervalles).
On appelle fonction f sur l’ensemble D le « mécanisme mathématique » qui permet d’associer à tout nombre x de D en un réel unique noté f(x). On note f : x → f(x).

b. Vocabulaire

– f(x) est l’image de x ;
– x est l’antécédent de f(x) ;
– D est l’ensemble de définition (ou domaine de définition) de f.

Exemple :
Sur l’intervalle [-2 ; 2], on définit la fonction f par : x → f(x) = (x – 1)² – 3

L’algorithme de cette fonction se présente donc ainsi :
 Prendre un nombre x
 Retrancher 1 à x
 Prendre le carré de ce résultat
 Retrancher 3 à ce résultat

Exemple :

f(-2) = (-2 – 1)² – 3 = (-3)² + 3 = 9 – 3 = 6 : L’image de -2 par la fonction f est 6.
f(-1) = (-1 – 1)² – 3 = (-2)² + 3 = 4 – 3 = 1 : L’image de -1 par la fonction f est 1.
f(0) = (0 – 1)² – 3 = (-1)² – 3 = 1 – 3 = -2 : L’image de 0 par la fonction f est -2.
f(1) = (1 – 1)² – 3 = 0 – 3 = -3 : L’image de 1 par la fonction f est -3.
f(2) = (2 – 1)² – 3 = 1² – 3 = 1 – 3 = -2 : L’image de 2 par la fonction f est -2.
On peut dresser un tableau des valeurs :

Exercices corrigés

Exercice 1

Dans chaque cas, déterminer l’ensemble de définition de la fonction f :

Solution

Exercice 2

Etudier l’ensemble de définition des fonctions suivantes :

Solution

Exercice 3

Solution

Exercice 4

a. On considère la fonction définie par f : x→
Parmi les valeurs suivantes, laquelle/lesquelles n’a/ont pas d’image par f ? 0 ; 2 ;3 ; 3.

b. On considère la fonction définie par f : x→
Parmi les valeurs suivantes, laquelle/lesquelles n’a/ont pas d’image par f ? 0 ; 2 ;–3 ; 4.

c. On considère la fonction définie par f : x→  
Parmi les valeurs suivantes, laquelle/lesquelles n’a/ont pas d’image par f ? 5 ; –1 ;9 ; 3.

d. Donner pour chaque fonction, et sous la forme d’un intervalle ou d’une réunion d’intervalles, son ensemble de définition :

Solution