Equation cartésienne d’une droite

1) Propriété

Toute droite (d) a une équation de la forme 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄 = 𝟎
avec (𝒂 ; 𝒃) ≠ (0 ; 0). Un vecteur directeur de (d) est 𝒖⃗ ( -𝒃 ; 𝒂)

Remarque : Une droite (d) admet une infinité d’équations cartésiennes En effet, si 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄= 𝟎 est une équation cartésienne de (d), alors pour tout réel 𝒌 non nul, 𝒌𝒂𝒙 + 𝒌𝒃𝒚 +𝒌𝒄 = 𝟎 est une autre équation de la même droite.

2) Propriété réciproque

L’ensemble des points M (𝒙 ; 𝒚) vérifiant l’équation : 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄 = 𝟎 avec (𝒂 ; 𝒃) ≠ (0 ; 0) est une droite de vecteur directeur 𝒖⃗⃗ ( -𝒃 ; 𝒂)

Démonstration :
Soit (d) une droite, A(𝑥𝐴 , 𝑦𝐴) un point de (d) et 𝑢⃗ (𝑝 ; 𝑞) un vecteur directeur de (d).
Soit M (𝑥 ; 𝑦) un point du plan.
« M appartient à (d) » équivaut à :
« 𝐴𝑀⃗ (𝑥− 𝒙𝑨 ; 𝒚 − 𝒚𝑨) et 𝑢⃗ (𝑝 ; 𝑞) sont colinéaires », qui équivaut à :

« 𝒒 (𝑥− 𝒙𝑨 ) – 𝒑 (𝒚 − 𝒚𝑨) = 0 qui équivaut à :
𝒒 𝑥− 𝒑 𝒚 − 𝒒 ( 𝒙𝑨 − 𝒑 𝒚𝑨) = 0
Posons   𝒂=𝒒 ; 𝒃=−𝒑 et 𝒄= − (𝒒 𝒙𝑨 − 𝒑 𝒚𝑨).
Cette dernière équation s’ écrit 𝒂𝒙+𝒃𝒚+𝒄=𝟎 et 𝑢⃗ , vecteur directeur de (d), a pour coordonnées (−𝒃 ; 𝒂).
Si 𝒂 = 0, alors 𝒃 ≠ 0 , 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 +𝑐 = 0 équivaut à : 𝑦= − 𝑐/𝑏 .

Attention l’ensemble des points M cherché, est donc une droite parallèle à l’axe des abscisses.
Si 𝒃 = 0, alors 𝒂 ≠ 0 , 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 +𝑐 = 0 équivaut à : 𝑥= − 𝑐/𝑎 .

Attention l’ensemble des points M cherché, est donc une droite parallèle à l’axe des ordonnées.

Exemple
Méthode 1 : Déterminer l’équation cartésienne d’une droite, connaissant un point et un vecteur directeur
Explication à partir d’un exemple : Soit (O ; 𝑖 ; 𝑗 ) un repère du plan Déterminer une équation cartésienne de la droite d passant par le point A( 1 ; -1) et de vecteur directeur 𝒖⃗ ( -1; 3 ).
Réponse : Soit M un point de d de coordonnées : M (𝑥 ; 𝑦)
Les vecteurs 𝑨𝑴⃗(𝒙−𝟏 ;𝒚+𝟏) et 𝑢⃗ ( -1; 3 ) sont colinéaires si, et seulement si, (𝒙−𝟏)(3) – ( 𝒚+𝟏)( -1) = 0 équivaut à :
3𝑥−3+𝑦+1=0 équivaut à :
𝟑𝒙+𝒚−𝟐=𝟎 Une équation cartésienne de la droite d est : 𝟑𝒙+𝒚−𝟐=𝟎

Méthode 2 : Déterminer l’équation cartésienne d’une droite connaissant deux points distincts de la droite

Explication à partir d’un exemple : Soit (O ; 𝑖 ; 𝑗 ) un repère du plan. Déterminer une équation cartésienne de la droite d passant par les points A (5 ; 13) et B (10; 23 ).
Réponse : Les points A et B appartiennent à la droite d donc le vecteur 𝑨𝑩⃗ est un vecteur directeur de cette droite.
𝑨𝑩⃗ (10 – 5 ; 23 – 13), soit 𝑨𝑩⃗ (5 ; 10) en divisant les coordonnées du vecteur 𝑨𝑩⃗ par 5, nous obtenons le vecteur 𝑢⃗ (1 ; 2) vecteur directeur aussi de la droite d.
Donc b = 1 et a = -2
Une équation cartésienne de la droite d est donc de la forme : −𝟐𝑥 +𝑦 +𝑐 = 0
Comme le point A (5 ; 13) appartient à la droite d, ses coordonnées vérifient l’équation :
−2×𝟓 + 𝟏𝟑 +𝑐 = 0 − 10+ 13 + 𝑐 = 0
D’où : c = − 3
Une équation cartésienne de la droite d est donc : −𝟐𝒙 +𝒚−𝟑 = 𝟎

Méthode 3 : Déterminer l’équation cartésienne d’une droite à partir de sa représentation graphique

Explication à partir d’un exemple : Soit (O ; 𝑖 ; 𝑗 ) un repère du plan. Déterminer une équation cartésienne de la droite d, tracée ci-dessous

Réponse :
Méthode 1 : Le vecteur 𝑢⃗ est un vecteur directeur de la droite (d) On lit graphiquement 𝑢⃗ (3 ; 1) Donc a = -1 et b = 3
Une équation cartésienne de la droite d est de la forme :
−𝑥 +3𝑦 +𝑐 = 0 Comme le point A (4 ; 1) appartient à la droite (d), ses coordonnées vérifient l’équation :
−4 +3 +𝑐 = 0  donc  𝑐 = 1
Une équation cartésienne de la droite d est : −𝒙 +𝟑𝒚+𝟏 = 𝟎

Méthode 2 : On prend deux points de la droite, par exemple : A (4 ; 1) et B (-2 ; -1) et on applique la même méthode qu’à l’exemple 2.