Droites du plan

I) Vecteur directeur d’une droite :

Définition : Vecteur directeur d’une droite

Soient A et B deux points distincts d’une droite d alors tout vecteur  colinéaire au vecteur   est appelé vecteur directeur de la droite d.

Remarque : Le vecteur peut être remplacé par n’importe quel autre vecteur non nul qui lui est colinéaire, il n’est donc pas unique.

Exemple :

Soient A(– 2 ; 4) et B(6 ; 2) alors (8 ; –2) et donc le vecteur (4 ; –1) est un vecteur directeur de la droite (AB).
Le vecteur AB est aussi un vecteur directeur de la droite (AB).

II) Equations cartésiennes d’une droite

Définition : Équation cartésienne d’une droite

Une équation cartésienne de la droite passant par le point A(xA ; yA) et de vecteur directeur (–b ; a) est de la forme ax + by + c = 0.

Remarque :
• Si a = 0 alors la droite est horizontale et donc parallèle à l’axe des abscisses.
• Si b = 0 alors la droite est verticale et donc parallèle à l’axe des ordonnées.
• Une équation cartésienne peut aussi s’écrire sous la forme ax + by = c.

Propriété : Condition d’appartenance d’un point à une droite

Si les coordonnées (x ; y) d’un point M vérifient l’équation ax + by + c = 0 alors il appartient à la droite dont un vecteur directeur est le vecteur (–b ; a)

Exemple :

1- Un point M(x ; y) appartient à la droite passant par le point A(2 ; – 1) et de vecteur directeur (–b ; a) si et seulement si : 

donc  2×(x – 2) – (–3) ×(y +1) = 0

soit  2x + 3y – 1 = 0

2- On cherche à tracer une droite dont une équation cartésienne est
– 3x + 5y – 2 = 0 :
• soit on trouve deux points dont les coordonnées vérifient l’équation :
A(1 ; 1) et B(6 ; 4), par exemple.
• soit on trouve un point A(1 ; 1) et on utilise un vecteur directeur :

(–5 ; –3) , par exemple.

III) Équation réduite d’une droite

Définition : Équations réduites d’une droite non verticale et d’une droite verticale

• Toute droite non verticale a une équation réduite de la forme y = mx + p où m s’appelle le coefficient directeur et p l’ordonnée à l’origine.
• Toute droite verticale a une équation réduite de la forme x = k.

Remarques
• Toutes les droites ont une équation qui peut s’écrire sous forme d’une équation cartésienne.
• Seules les droites non verticales ont une équation qui peut s’écrire sous forme d’une équation réduite.

Exemple
Sur la figure ci-contre on a représenté les droites d1 d’équation réduite y = – 2x + 3 et d2 d’équation réduite x = 4.

Propriétés : Lectures graphiques

On considère la droite d’équation réduite : y = mx + p
• Le vecteur de coordonnées (1 ; m) est un vecteur directeur de cette droite.
• Le point d’intersection de la droite avec l’axe des ordonnées a pour coordonnées (0 ; p).

Exemple
Pour la droite d1 de l’exemple précédent, on lit le point A(0 ; 3), intersection de la droite avec l’axe des ordonnées donc on retrouve : p = 3.

À partir de ce point si on se déplace selon le vecteur (1 ; –2) on trouve le coefficient du vecteur m = – 2.

Propriétés : Signe du coefficient directeur

Soit m le coefficient directeur de la droite d’équation réduite y = mx + p
• Si m>0 alors la droite « monte ».
• Si m<0 alors la droite « descend ».
• Si m = 0 alors la droite est horizontale (parallèle à l’axe des abscisses).

Propriété  : Droites parallèles

Deux droites non verticales sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur

Définition : Coefficient directeur ou pente

Le coefficient directeur ou pente d’une droite (AB) avec A(xA ; yA)
et B(xB ; yB) est donné par :

Remarques
• Si xA = xB alors la droite est verticale d’équation réduite x = xA.
• m est donc le quotient du déplacement vertical par le déplacement horizontal pour aller d’un point à un autre point de la droite.

Exemple

IV) Positions relatives de deux droites

Règle : Droites sécantes, droites parallèles et droites confondues

Deux droites du plan peuvent être soit sécantes, soit parallèles ou soit confondues.

Propriété : Droites parallèles avec équations réduites

Deux droites d’équations réduites y = mx + p et y = m′x + p′ sont parallèles si et seulement si m = m′.
Si, de plus, p = p′ alors elles sont confondues

Propriété : Droites parallèles avec équations cartésiennes

Deux droites d’équations cartésiennes ax + by + c = 0 et a′x + b′y + c′ = 0 sont parallèles si et seulement : si ab′ – ba′ = 0.