Calcul algébrique et identités remarquables

Propriété : Distributivité

• Pour tous nombres réels a, b et k on a : k(a + b) = ka + kb.
• Pour tous nombres réels a, b, c et d on a : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.

Remarque Ces règles permettent généralement de développer une expression.
La règle de distributivité permet aussi de factoriser si un facteur commun est apparent dans une somme, en l’utilisant de la manière : ka + kb = k(a + b).

Propriété : Identités remarquables

Pour tous nombres réels a et b, on a :

Remarques
• Dans le sens 1 , les identités remarquables permettent de développer des expressions.
• Dans le sens 2 , les identités remarquables permettent de factoriser des expressions.

Démonstration

Pour tous nombres réels a et b, on a :

Exemples
1- Pour développer : (x – 3)² = x² – 2 × x × 3 + 3² = x² – 6x + 9 d’après la 2e identité remarquable.
2- Pour factoriser : x² + 2x + 1 = x² + 2 × x × 1 + 1² = (x + 1)² en remplaçant a par x et b par 1 dans l’égalité a² + 2ab + b² = (a + b)².

Règle : Écriture fractionnaire

Les règles de calcul habituelles des quotients comme la mise au même dénominateur peuvent être utilisées pour transformer des expressions fractionnaires si le(s) dénominateur(s) présent(s) dans l’expression est (sont) non nul(s).

Exemple

Remarque on signale au départ que x ≠ 2. En effet, si on prend x = 2 le dénominateur x – 2 du quotient  dans le calcul s’annulerait, ce qui n’est pas possible car on ne peut pas diviser par 0.