la valeur absolue devient une compétence essentielle .
• Valeur absolue
Valeur absolue d’un nombre
La valeur absolue d’un nombre, notée x , est égale à :
– ce nombre s’il est positif,
– l’opposé de ce nombre s’il est négatif
Exemples : 
Propriétés :
Distance entre deux réels
La distance entre deux réels x et y est la différence entre le plus grand et le plus petit.
Cette distance est notée |x – y| ou encore |y – x|.
|x – y| se lit « valeur absolue de x moins y ».
Exemples :
|3 – 5| : est la distance entre les réels 3 et 5. Cette distance est égale à 5 – 3 = 2.
|–2 – 3| : est la distance entre les réels –2 et 3. Cette distance est égale à 3 – (-2) = 5.
Interprétation graphique de |x – y|
Sur une droite graduée d’origine O, notons M le point d’abscisse x et N le point d’abscisse y.
|x – y| est la distance entre les points M et N, c’est à dire MN.
Application : Soient A, B et M trois points distincts d’une droite graduée.
On note a, b et x les abscisses respectives des points A, B et M.
L’égalité |x – a|=|x – b| se traduit par MA = MB, avec A, B et M alignés :
→ cela signifie que M est le milieu du segment [AB].
Inégalité |x – a|≤ r (a et r fixés, r > 0)
Propriété : a est un réel, r est un réel strictement positif.
Dire que |x – a|≤ r équivaut à dire que x appartient à l’intervalle [a – r ; a + r].
Démonstration : |x – a|≤ r signifie que la distance de x à a est inférieure ou égale à r, c’est à dire que x appartient à l’ensemble représenté en rouge sur la figure ci-contre.
Exemple : Résoudre l’inéquation |x + 7|≤ 3
Exemple : Résoudre l’inéquation |x + 7|≤ –2
Ne vous laissez pas piéger par la méthode si dessous incorrecte car …
Une valeur absolue ne peut être négative : S = Ø
Exercices corrigés
Exercice 1:
Compléter : la valeur absolue est la partie positive ou nulle de l’expression qu’elle contient :
Exercice 2:
En utilisant cette propriété, résoudre les équations suivantes comme dans l’exemple :
Exercice 3:
Donner l’intervalle qui correspond à chaque inégalité (on représentera cet intervalle sur l’axe gradué).
Exercice 4:
Représenter sur l’axe et les différents intervalles, puis écrire plus simplement leur réunion.
Exercice 5:
Ecrire sans barre de valeurs absolues
Exercice 6:
Résoudre les équations suivantes :
conseil : si l’équation ne comporte qu’une valeur absolue, il est préférable d’interpréter celle-ci en terme de distance sinon on utilise un tableau de valeurs absolues
Exercice 7:
Résoudre les inéquations suivantes en donnant l’ensemble solution S sous forme d’intervalle
