I− Racines carrées

1. Défnition

La racine carrée d’un nombre positif a est le nombre positif noté √a dont le carré est égal à a.

Exemple :  √16 = 4  car  4² = 16.

Remarque : Un nombre négatif n’a pas de racine carrée.

Propriété : Pour tout nombre positif a : (√a)² = a  et  √a² = a

Exemple :

2. Défnition

On appelle carré parfait un entier positif dont la racine carrée est un entier.
Exemples : 25 est un carré parfait car √25 = 5 

II − Résolution d’équations du type x² = a , a>0.

Propriété : Soit a un nombre donné. L’équation x² =  a admet :

– Quand a < 0, l’équation n’a pas de solution car un carré est toujours positif.
– Quand a = 0, l’équation x² = 0 n’admet qu’une seule solution x = 0.
– Quand a > 0, l’équation admet deux solutions : x = √a  et  x =–√a

Exemple : Résoudre l’équation : x² =  5

x² – 5 = 0

(x – √5 )(x + √5)= 0

x – √5  = 0  ou   x + √5= 0

Les solutions sont :  x = √5    ou x =– √5

Remarque : L’équation x² =  –5  n’a pas de solution.

III − Opérations sur les racines carrées

Propriété : a et b sont des nombres positifs non nuls.

Exemples :

 Simplifications :

Méthode (ecrire une racine carree sous la forme a√b)

Pour écrire √50 sous la forme a√b, avec a et b des nombres entiers et b le plus petit possible, on procède de la manière suivante :
1. On décompose le nombre sous la racine carrée en un produit/quotient dont l’un des nombres est un carré parfait (par exemple, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, . . . ; ici 50 = 25 × 2).
2. On utilise les formules sur les racines carrés pour séparer la racine en deux.
3. On simplifie la racine carrée du nombre carré!

Par exemple : √50 = √25 × 2 = √25 × √2 = √52 × √2 = 5√2.

Exemple : Écrire √63 sous la forme a√b, avec a et b des nombres entiers et b le plus petit possible.

Réponse : √63 = √9 × 7 = √9 × √7 = √3² × √7 = 3√7.

Exemple : Écrire A = 2√24 + 3√216 − 10√6 sous la forme a√b, avec a et b des nombres entiers et b le plus petit possible.
Réponse :

Remarque : On évite de laisser une racinecarrée au dénominateur pour un résultat final :